Souvislost mezi Z-transformací a Fourierovou transformací – applet

---

Z-transformace převádí diskrétní posloupnosti (zde impulzní charakteristiku h[n]) na jejich obraz (přenosovou funkci H(z)). Výhodou je kompaktní vyjádření teoreticky nekonečných posloupností ve formě zlomku. Nevýhodou je, že obraz H(z) je spojitá komplexní funkce komplexní proměnné z. V appletu je tato přenosová funkce zapsána zlomkem, ale její hodnoty jsou vyjádřeny i pomocí 3D grafů, kde nezávislá proměnná je v z-rovině (X-Y) (reálná a imaginární složka proměnné z v rozsahu −2,..,2). Grafy jsou dva, protože hodnoty funkce H(z) jsou komplexní čísla, takže jeden graf znázorňuje modul |H(z)| a druhý fázi arg(H(z). (Komplexní) kořeny polynomu v čitateli zlomku H(z) označujeme jako nulové body (jsouto taková z, pro která je H(z)=0) kořeny jmenovatele jsou póly (taková z, pro které je 1/H(z)=0). Tyto kořeny je možné v appletu editovat. Hlavní roli hraje komplexní sdružení těchto kořenů. Dokud jsou kořeny komplexně sdružené a nebo prostě leží na reálné ose, platí:

• koeficienty polynomů v přenosové funkci H(z) jsou reálné,
• modulová kmitočtová charakteristika je symetrická.

Fourierovu transformaci (v případě diskrétních posloupností vzorků se jedná o diskrétní Fourierovu transformaci s diskrétním časem – DTFT) impulzní charakteristiky značíme jako H(exp(jω)) nebo prostě H(ω). Jedná se o kmitočtovou charakteristiku, což je spojitá komplexní funkce, ale již reálné proměnné ω. Hodnoty exp(jω) se v z-rovině nacházejí na jednotkové kružnici, protože |exp(jω)|=1 takže hodnoty kmitočtové charakteristiky jsou přímo hodnoty přenosové funkce H(z) na jednotkové kružnici (z–>exp(jω)). V 3D zobrazení je možné přepínat mezi celou H(z) nebo hodnotami H(exp(jω)) nebo obojí. Poslední graf v appletu znázorňuje ty samé hodnoty H(exp(jω)), tentokrát po „rozbalení“ hodnot na jednotkové kružnici do roviny. Hodnoty na ose x tohoto grafu jsou v rozsahu [0, -2π) rad. Přitom 0 rad odpovídá souřadnici [1,0] v z-rovině a narůstá proti směru hodinových ručiček: (π/2 rad = [0,1], π rad = [-1,0], 2π = [1,0] ]).

Hlavní ovládací prvek appletu je z-rovina, kde je možné pohybovat nulovými body a póly tažením myši. To vyvolá:

• Přepočet přenosové funkce H(z).
• Překreslení 3D znázornění modulu |H(z)| a fáze arg(H(z)) přenosové funkce.
• Překreslení modulu |H(exp(jω))| a fáze kmitočtové charakteristiky arg H(exp(jω)).